注：《几何原本》中有“公设 ”与“公理 ”之分 ，近代数学对此不再区分 ，都称“公理” 。
23条定义
1. 点是没有部分的东西
2.线只有长度而没有宽度
3.一线的两端是点
4.直线是它上面的点一样地平放着的线
5.面只有长度和宽度
6.面的边缘是线
7.平面是它上面的线一样地平放着的面
8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.
9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.
10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时 ，这些角每一个被叫做直角 ，而且称这一条直线垂直于另一条直线 。
11. 大于直角的角称为钝角。
12. 小于直角的角称为锐角
13. 边界是物体的边缘
14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的
15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等 。
16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心 。
17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段 ，且把圆二等分。
18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形 ，半圆的圆心与原圆心相同 。（暂无注释）
19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的.
20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.
21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.
22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.
23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.
五条公理
1.等于同量的量彼此相等；
2.等量加等量，其和相等；
3.等量减等量，其差相等；
4.彼此能重合的物体是全等的；
5.整体大于部分 。
五条公设
1.过两点能作且只能作一直线；
2.线段(有限直线)可以无限地延长；
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆；
4.凡是直角都相等；
5.同平面内一条直线和另外两条直线相交 ，若在直线同侧的两个内角之和小于180° ，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。（近代数学不区分公设，公理 ，统一称为公理）
最后一条公设就是著名的平行公设 ，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论 ”的讨论，并最终诞生了非欧几何 。值得注意的是 ，第五公设既不能说是正确也不能说是错误 ，它所概括的是一种情况 。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。
——以上选自《几何原本》 第一卷《几何基础》
欧式几何有哪些公理？
你说的是五大共设
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角和小于二直角的和 ，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 。
两外还有
五大几何基本公理：
一、两点之间 ，线段最短；
二 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
三 、过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
四、同位角相等，两直线平行；
五 、两直线平行 ，同位角相等 。
他们之间互不矛盾并且不能互相证明。
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解析:
除欧氏几何 ，还有罗氏几何 、黎曼几何 。它们合称非欧几何 。
可以推断你的基础还薄弱，理解不了这些，给你简单讲几句。以后慢慢学你可能能理解 。
欧几里德几何(欧式几何)的传统描述是一个公理系统 ，通过有限的公理来证明所有的“真命题 ” 。
欧几里德几何的五条公理是：
1、任意两个点可以通过一条直线连接。
2 、任意线段能无限延伸成一条直线 。
3 、给定任意线段 ，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆 。
4、所有直角都全等。
5、若两条直线都与第三条直线相交 ，并且在同一边的内角之和小于两个直角 ，则这两条直线在这一边必定相交。
第五条公里称为平行公理，可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点 ，有且仅有一条不与该直线相交的直线 。
长期以来 ，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长 ，而且也不那么显而易见 。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到 ，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题 。
因此 ，一些数学家提出 ，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论 。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决 ，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代 ，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设 ，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统 ，展开一系列的推理 。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设 。我们知道 ，这其实就是数学中的反证法。
但是 ，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思 ，但在逻辑上毫无矛盾的命题 。最后 ，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明 。
第二 ，在新的公理体系中展开的一连串推理 ，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的 、严密的几何学 。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称"罗氏几何" 。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中 ，可以得出一个极为重要的 、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时 ，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在 。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待 。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作 。终于在1832年 ，在他的父亲的一本著作里 ，以附录的形式发表了研究结果 。
那个时代被誉为“数学王子 ”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害 ，不敢公开发表自己的研究成果 ，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基 、鲍耶他们的新理论 。
罗式几何
罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点 ，至少可以做两条直线和这条直线平行 ”来代替 ，其他公理基本相同 。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道 ，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理 。因此 ，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的 。在欧式几何中 ，凡涉及到平行公理的命题 ，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交 。
垂直于同一直线的两条直线或向平行 。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗式几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交 。
垂直于同一直线的两条直线 ，当两端延长的时候 ，离散到无穷 。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆 。
从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到 ，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾 。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是 ，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的 。
1868年 ，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》 ，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现 。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题 ，如果欧几里得几何没有矛盾 ，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了 。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究 ，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美 ，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼 ” 。
黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理 、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ” 。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行” 。那么是否存在这样的几何“过直线外一点 ，不能做直线和已知直线平行 ”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在 ，开创了几何学的一片新的广阔领域 。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点) 。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限演唱 ，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进 ”的球面 。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用 。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里 ，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的 ，但是整个时空却是不均匀的 。在物理学中的这种解释 ，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的 。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础 ，也应用在微分方程 、变分法和复变函数论等方面 。
三种几何的关系
欧氏几何 、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何 。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系 ，各公理之间满足和谐性 、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的 。
在我们这个不大不小 、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界 ，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中 ，黎曼几何更准确一些 。
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文章不错《欧几里得几何原本五大公理》内容很有帮助